Certains problèmes mathématiques prennent leur temps. Celui posé dans les années 1960 par Paul Erdős en fait clairement partie. Il concerne les « ensembles primitifs », des groupes de nombres entiers où aucun élément ne peut en diviser un autre, une sorte d’extension de la notion de nombre premier à une collection entière.
Une vieille énigme revisitée autrement
Erdős avait également imaginé une mesure pour évaluer ces ensembles, la « somme d’Erdős », et formulé plusieurs hypothèses à son sujet. L’une d’elles, restée sans réponse pendant des décennies, portait sur le comportement de cette somme lorsque les nombres deviennent très grands : elle devait, selon lui, tendre vers 1.
Malgré de nombreuses tentatives, le problème résistait. Jusqu’à ce qu’un amateur de mathématiques, Liam Price, 23 ans, décide de le soumettre à ChatGPT-5.4 Pro. Sans arrière-pensée particulière : il explique avoir simplement l’habitude de tester des problèmes d’Erdős avec l’IA « pour voir ce qui en sort». En un peu plus d’une heure, le modèle propose une solution crédible. Pas de théorie complètement inédite ici, mais une idée simple sur le papier : utiliser une formule déjà bien connue dans un contexte où personne ne semblait avoir pensé à l’appliquer.
Le résultat a rapidement attiré l’attention de plusieurs spécialistes, dont le mathématicien Terence Tao. Pour lui, l’histoire est révélatrice : « Les chercheurs ont collectivement pris une mauvaise direction dès le départ », explique-t-il. Autrement dit, le problème n’était peut-être pas aussi inaccessible qu’il en avait l’air, mais il était abordé toujours de la même façon.
C’est là que ChatGPT a fait la différence. Sans être contraint par les habitudes de raisonnement, le modèle a exploré une piste différente, en appliquant une formule familière à un terrain inhabituel. Une idée qui, rétrospectivement, semble presque évidente. Mais attention à ne pas aller trop vite : l’IA n’a pas fait tout le travail. La première version de la démonstration était difficile à lire et à interpréter. Elle a nécessité une reprise complète par des mathématiciens, dont Jared Duker Lichtman, pour clarifier l’argument et en tirer une preuve plus concise.
Ce qui intéresse aujourd’hui les chercheurs, ce n’est pas seulement la résolution du problème, mais la méthode utilisée. Elle pourrait ouvrir d’autres pistes sur des questions liées aux grands nombres. « Nous avons découvert une nouvelle manière de penser leur structure », souligne Terence Tao, tout en restant prudent sur la portée réelle de cette avancée.
Cet épisode montre surtout que l’intelligence artificielle peut surtout servir de partenaire de réflexion. Elle ne remplace pas les mathématiciens, mais elle peut parfois aider à regarder un problème sous un angle différent.
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