Pourquoi calcule-t-on des milliards de décimales de Pi ?

Une entreprise américaine est récemment parvenue à calculer 105 000 milliards (105 000 000 000 000) de décimales de Pi. Un nouveau record qui repousse encore plus loin les limites de précision de ce nombre iconique… et pousse à s’interroger sur l’intérêt de cette initiative.

Pi est une constante égale à la circonférence d’un cercle divisé par son diamètre. C’est ce qu’on appelle un nombre irrationnel : on ne peut pas l’écrire sous la forme d’une fraction de deux nombres entiers, et il présente donc une infinité de décimales qui ne se répètent jamais — même si nous avons l’habitude de l’abréger 3,14. Depuis des siècles, des chercheurs tâchent donc de le calculer avec la meilleure précision possible.

La première personne à en estimer la valeur, du moins à notre connaissance, était l’illustre Archimède. Il est parti d’un carré dans lequel il a inscrit un cercle qui contenait lui-même un autre carré. Il a réalisé que la circonférence du cercle était forcément comprise entre les périmètres de ces deux carrés ; en doublant progressivement le nombre de côtés pour obtenir des polygones de plus en plus complexes, il pouvait donc calculer sa valeur avec une précision de plus en plus importante. Une approche très innovante pour l’époque — mais extrêmement approximative par rapport aux standards modernes.

Aujourd’hui, cette méthode géométrique a été remplacée par des formules qui permettent d’obtenir des résultats beaucoup plus précis. On peut citer les formule de Leibniz, de Machin et de Chudnovsky ou encore la Méthode de Monte-Carlo. Elles ont toutes leurs spécificités, mais aussi un point commun : aujourd’hui, tous ces calculs ne sont évidemment plus réalisés à la main. À la place, ce sont des supercalculateurs très puissants qui s’en chargent.

Peu d’intérêt pour les mathématiciens

Mais même pour des machines aussi puissantes, ce n’est pas une partie de plaisir ; calculer des milliards de décimales nécessite de faire turbiner de nombreux processeurs pendant des jours, voire des mois. Par exemple, le nouveau record établi par l’entreprise californienne Solidigm a nécessité… 75 jours de calcul continu.

On peut donc légitimement se demander quel est l’intérêt de réaliser ces opérations, surtout lorsqu’on sait que ces supercalculateurs ont tendance à consommer des quantités d’énergie très importantes. Intuitivement, on pourrait penser que cette précision bénéficie directement aux scientifiques… mais ce n’est absolument pas le cas. Les mathématiciens et les physiciens se fichent royalement de connaître des milliards de décimales de Pi : à ce stade, on sort largement du domaine de l’exploitable.

Il existe d’ailleurs une comparaison assez courante et très éloquente qui permet d’illustrer cet écart : rien qu’avec les dix premières décimales, on peut déjà calculer la circonférence de la Terre à environ un millimètre près.

Si l’on pousse encore plus loin, avec 65 décimales, on pourrait calculer la taille de l’Univers observable avec une marge d’erreur de l’ordre de la Longueur de Planck, la plus petite unité de distance prévue par la science moderne ! Autant dire que le fait de connaître des milliards et des milliards de décimales n’a strictement aucun intérêt à ce niveau.

Dans ce cas, pourquoi prend-on la peine de pousser les calculs aussi loin ? La raison la plus évidente est aussi la plus superficielle : c’est tout simplement pour avoir l’honneur de battre un record. Pour une entreprise comme Solidigm, c’est donc un moyen de se faire connaître du public et de s’offrir un peu de publicité gratuite.

Un outil de benchmarking

Mais il y a également une autre justification bien plus pertinente qui tombe dans le domaine de l’informatique plutôt que des sciences dures traditionnelles. Aujourd’hui, le calcul de Pi est surtout un exercice de benchmarking.

Il permet de tester les performances de certains algorithmes et du matériel qui permet de les faire tourner. En théorie, on pourrait réaliser ces mêmes travaux avec n’importe quelle autre constante mathématique importante. Si Pi a autant la cote, c’est surtout parce qu’il s’agit d’un nombre iconique qui fait l’objet d’une sorte de consensus tacite, et cela permet donc de comparer les performances des différents systèmes.

Un outil pour simuler le hasard

En cherchant plus loin, on peut trouver un dernier intérêt à ces travaux. Puisque Pi est un nombre irrationnel, ses décimales ne contiendront jamais de séquence qui se répète périodiquement. Cette particularité peut être intéressante dans le domaine de la cryptographie.

Les opérations de chiffrement nécessitent souvent de générer des chiffres aléatoires. Le problème, c’est que les ordinateurs s’appuient sur des algorithmes purement déterministes et entièrement prévisibles ; on doit toujours obtenir le même résultat en réalisant la même opération, car dans le cas contraire, ils n’auraient strictement aucun intérêt. Par conséquent, ces machines sont fondamentalement incapables de reproduire le vrai hasard.

À la place, on se rabat donc sur des nombres dits « pseudo-aléatoires ». Or, pour qu’un ordinateur puisse en générer un, il faut lui donner un point de départ : on parle de ou seed (graine en anglais). En allant piocher cette seed dans une série de nombres qui ne se répètent jamais, comme Pi, on peut donc obtenir un résultat statistiquement très proche du vrai hasard. Et plus on a de décimales à disposition, plus on peut s’en approcher.

Même si ça n’a aucun intérêt pour les physiciens, on peut donc affirmer sans trop de risque que d’autres personnes finiront par faire tomber ce record. Reste à voir à quel point le nombre de décimales va gonfler. Il sera intéressant de faire un état des lieux d’ici quelques dizaines d’années ; peut-être que le nombre de décimales aura encore augmenté de plusieurs ordres de grandeur. En tout cas, ce qui est sûr, c’est que nous n’arriverons jamais au bout !

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